Uno de los conceptos matemáticos más esquivos y a la vez misteriosos es el de infinito.
Todos tenemos una idea intuitiva de lo que es. ¿A quién no le produce desazón pensar en el infinito?
El infinito es un concepto ignoto.
Si viajamos en una nave espacial a gran velocidad por el espacio, partiendo de nuestro planeta Tierra y en línea recta con rumbo fijo, suponiendo que somos inmortales y disponemos de combustible infinito, ¿llegará un momento en el que encontraremos el fin del Universo, una señal de no pasar, un precipicio infranqueable, o volveremos a nuestro punto de partida? No lo sabemos.
Desde la época de Aristóteles se ha discutido mucho sobre si sólo existe un infinito potencial, es decir, que reside en nuestra mente como algo inalcanzable, como lo es el proceso de contar o, por el contrario, sólo existe un infinito actual.
Todos sabemos que, por muchos números que contemos siempre le podemos añadir uno más, pero nunca alcancemos el final. Por tanto, el infinito es un concepto y no algo en sí mismo.
El segundo tipo de infinito es el llamado infinito actual. Este es aprehensible y tiene una realidad como tal e incluso podemos manipularlo.
Georg Cantor fue un matemático que tuvo la osadía de considerar al infinito como un número más y, por tanto, tratarlo como tal. Trató al infinito como infinito actual y lo consiguió dominar.
Cantor abordó el desafío como un problema de Conjuntos. Un conjunto es una colección de elementos de una determinada clase.
El conjunto más familiar para nosotros es el conjunto de los números naturales:
Todos sabemos contar y somos conscientes de que, por mucho que contemos, siempre podemos añadir una unidad al número más alto contado alcanzado. Luego el conjunto de los números naturales es infinito.
Otro de estos conjuntos es el de los números enteros denominado:
El conjunto de los números racionales se designa por Q, como son el 2/3, 1,5, etc.
Existe también el conjunto de los números irracionales, como lo son: √2, π, Φ, etc.
Volvamos a los números naturales. Sabemos que un subconjunto de los números naturales son los números pares: 2, 4, 6, 8, 10, …hasta el infinito.
La pregunta que se hizo Cantor fue ¿cuál de estos dos conjuntos es mayor? ¿Hay mas números naturales o pares? El sentido común nos indica claramente que, como los números pares son parte del conjunto de los números naturales y, ya que el todo es mayor que cualquiera de sus partes, es mayor el conjunto de los números naturales.
Aquí viene lo revolucionario del planteamiento de Georg Cantor.
Cantor procedió a hacer una correspondencia biunívoca entre cada uno de los números de los elementos de dichos conjuntos emparejándolos de tal manera que ninguno quedase sin pareja.
1 → 2
2 → 4
3 → 6
4 → 8
Lo sorprendente de este resultado es que para cada número entero existe otro, su hermano par, ni sobrando ni faltando ningún elemento de ambos conjuntos. Concluyó, por tanto, que ambos conjuntos tienen el mismo número de elementos. Hay la misma cantidad de números enteros como de pares.
Este resultado es sorprendente e inesperado, porque la intuición nos empuja a pensar que hay muchos más números enteros que números pares. El infinito no sigue las reglas del sentido común, siendo unas de las partes (los pares) igual que el todo (los enteros).
Cantor designó al número que representa la cantidad de números enteros y de pares como cardial ℵo (Alef Subcero). Alef subcero es un número transfinito.